Logo
Home Upute Indeks pojmova Popis izvora Marin Getaldić O nama
  Engleski   

Euklidska ravnina

Engleski naziv: ???

Definicija:
Euklidska ravnina (ili kraće ravnina) je skup M čije elemente nazivamo točkama, a neke njezine istaknute podskupove zovemo pravcima. Ta dva tipa objekata zadovoljavaju sljedeće aksiome.

Aksiomi incidencije (pripadanja)

I1. Za svake dvije različite točke A, BM postoji jedinstveni pravac iz M kojemu one pripadaju. (Kaže se još da postoji jedinstveni pravac koji prolazi tim točkama ili da su te točke incidentne s tim pravcem, odnosno da leže na tom pravcu.) Taj se pravac obilježava s AB.
I2. Na svakom pravcu leže barem tri različite točke.
I3. Postoje tri nekolinearne točke, tj. takve tri točke koje ne leže na jednom te istom pravcu.

Aksiomi uređaja (poretka)

II1. Na svakom pravcu ravnine postoje točno dva međusobno suprotna linearne uređaja. (Ovaj aksiom omogućava da se pomoću njega definira pojam "ležati između".)
II2. (Paschov aksiom) Ako pravac siječe jednu stranicu trokuta i ne prolazi niti jednim vrhom na toj stranici, onda on siječe još bar jednu stranicu.

Aksiomi metrike

Zadana je funkcija d : M × MR i zovemo je metrika (ili razdaljinska funkcija ili funkcija udaljenosti) na M ako vrijedi

III1. d(A, B) ≤ 0     ∀ A, BM,     d(A, B) = 0 ⇔ A = B.
III2. d(A, B) = d(B, A)     ∀ A, BM.

III3. (Nejednakost trokuta) d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B), ∀ A, B, CM, pri tome znak jednakosti vrijedi ako i samo ako je C AB   .
III4. Za svaki polupravac (Ou) s vrhom O i za svaki realni broj x > 0 postoji (jedinstvena) točka T na tom polupravcu takva da je d(O, T) = x.

Aksiomi simetrije

IV1. Za svaki pravac pM postoji jedinstvena izometrija sp : MM različita od identitete, za koju je sp(T) = T, ∀ Tp. Ta se simetrija zove osna simetrija obzirom na pravac p. Pravac p se zove os simetrije.
IV2. Za svaki par (Ox, Oy) polupravaca s vrhom u O postoji bar jedan pravac p takav da je sp(Ox) = Oy.

Aksiom o paralelama

V1. Zadanom točkom T izvan zadanog pravca p prolazi najviše jedan pravac q paralelan s p.
Izvor:

Elementarna matematika 1, Boris Pavković, Darko Veljan, Zagreb, 1992.


Font 1 Font 2